Całka oznaczona to pojęcie matematyczne, które oznacza pole powierzchni pod krzywą opisaną przez funkcję f(x) w granicach ograniczonej przedziałem [a, b].

Definicja

Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b]. Całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale [a, b] jest określona wzorem:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x).

Intuicyjne rozumienie

Intuicyjnie całkę oznaczoną możemy zrozumieć jako pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji f(x), osią odciętych oraz liniami x = a i x = b.

Przykłady

• Całka oznaczona funkcji f(x) = x^2 w przedziale [1, 2] jest równa 9.

∫_1^2 x^2 dx = 3x^3/3 = 3 * 1^3/3 = 3 * 1 = 3

• Całka oznaczona funkcji f(x) = 1/x w przedziale [1, ∞] jest równa ∞.

∫_1^∞ 1/x dx = lim_n->∞ [ln(x)]_1^n = lim_n->∞ [ln(n) - ln(1)] = lim_n->∞ ln(n) = ∞

Obliczanie całek oznaczonych

Istnieje wiele metod obliczania całek oznaczonych. Jedną z najprostszych metod jest metoda Riemanna. Polega ona na podzieleniu przedziału [a, b] na n równych odcinków i wyznaczeniu sum kwadratów wysokości prostokątów o podstawach równych szerokościom odcinków i wysokościach równych wartościom funkcji f(x) w punktach środkowych odcinków.

Inną metodą obliczania całek oznaczonych jest metoda trapezów. Polega ona na podzieleniu przedziału [a, b] na n równych odcinków i wyznaczeniu sumy pól trapezów o podstawach równych szerokościom odcinków i wysokościach równych średnim arytmetycznemu wartości funkcji f(x) w punktach końcowych odcinków.

Istnieje również wiele innych metod obliczania całek oznaczonych, takich jak metoda Simpsona, metoda Monte Carlo, czy metoda całkowania numerycznego.

Zastosowanie

Całki oznaczone mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce, chemii, inżynierii i wielu innych dziedzinach. Stosowane są do obliczania pól powierzchni, objętości, mas, energii, momentów obrotowych, sił, momentów siły, i wielu innych wielkości fizycznych.