top

Całki oznaczone

Teorię dotyczącą całek oznaczonych podzieliliśmy na cztery części:

(A) Wstęp. Definicje.
(B) Interpretacja geometryczna.
(C) Własności.
(D) Przykłady obliczeń.

Część (A) wydaję się nam najtrudniejsza do zrozumienia. Wystarczy przejrzeć ją pobieżnie, a lepiej skupić się na częściach (B)-(D).
(A) Wstęp. Definicje.
Niech m oznacza m-ty podział przedziału wzór. Dokonajmy podziałów wzór przedziału wzór na skończoną liczbę wzór nie mających części wspólnej podprzedziałów w następujący sposób:
wzór
gdzie
wzór
Każdy przedział wzór nazywamy przedziałem cząstkowym podziału wzór, gdzie wzór. Długość takiego przedziału oznaczymy jako wzór. Niech wzór oznacza długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału wzór. Ciąg podziałów wzór nazywamy normalnym, jeśli spełniony jest warunek wzór.
Oto ilustracja graficzna omawianych definicji (przy założeniu, że najdłuższy przedział cząstkowy danego podziału odcinka nie leży między puntkami wzór i wzór):

wzór

Niech f(x) będzie funkcją ograniczoną dla każdego x należącego do wzór.
Z każdego przedziału cząstkowego wzór podziału wzór wybieramy punkt wzór i obliczamy wzór. Jeśli wzór, to iloczyn wzór będzie wyrażał wielkość pola prostokąta o szerokości wzór i wysokości mierzonej od osi OX do wartości wzór. W przeciwnym razie tj. gdy wzór będzie wyrażał wielkość przeciwną do tego pola.
Zdefiniujemy następującą sumę (tzw. sumę Riemann'a):
wzór
Jeśli dla danego podziału wzór (przedziału wzór) dla każdego i spełniony jest warunek wzór, to suma Riemann'a przybliża pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) a osią OX; gdy zaś dla danego podziału wzór dla każdego i spełniony jest warunek wzór , to suma Riemann'a wyraża liczbę przeciwną do pola powierchni między wykresem fukcji f(x), a osią OX. W przypadku, gdy dla danego podziału wzór dla pewnych i spełniony jest jeden z tych warunków, dla pozostałych i drugi z nich, to suma Riemann'a wyraża różnicę między przybliżonym polem wykresu funkcji f(x) nad osią OX i osią OX a przybliżonym polem wykresu funkcji f(x) pod osią OX i osią OX. Ilustruje to wykres (celowo zaznaczyliśmy tylko jeden punkt wzór):
wzór
Jeżeli ciąg wzór dla wzór jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów wzór niezależnie od wyboru wzór, to funkcję f(x) nazywamy całkowalną w przedziale wzór, a granicę ciągu wzór nazywamy całką oznaczoną (w sensie Riemann'a) funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem:
wzór
Zaprezentujemy trzy twierdzenia mówiące, jakie warunki muszą być spełnione, aby dana funkcja była całkowalna (w sensie Riemann'a).
1. Funkcja f(x) jest całkowalna, jeżeli przy dowolnym ciągu normalnym podziałów ciąg wzór ma granicę niezależną od wyboru punktów wzór.
2. Funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym, jeżeli jest ciągła.
3. Funkcja f(x) jest całkowalna, jeżeli jest ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości.

Zaprezentujemy teraz przykład. Rozważmy funkcję f(x)=x na przedziale wzór, gdzie c>0. Utwórzmy ciąg podziałów tego przedziału wzór. Dokonujemy podziału przedziału wzór na n równych przedziałów cząstkowych, dodatkowo zakładamy, że m=n. Dla każdego podziału wzór zachodzi:
wzór
Z założenia przedziały cząstkowe są równe, ich długość dla każdego podziału wzór wynosi wzór. Długość najdłuższego przedziału wynosi oczywiście wzór. Z poprzednich założeń wynika, że jeśli wzór, to również wzór. Stąd:
wzór
czyli ciąg podziałów wzór jest normalny.
Dla każdego podziału wzór, z każdego przedziału cząstkowego wzór, i=1,..,n wybieramy 2 punkty: wzór i wzór. Obliczamy wartości funkcji f(x) w tych punktach wzór i wzór. Funkcja f(x) jest rosnąca, więc wzór. Dla każdego podziału wzór utwórzmy następujące sumy:
wzór
oraz
wzór
Skoro f(x) jest rosnąca, więc dla każdego m zachodzi wzór.
Obliczamy:
wzór
oraz
wzór
Wyrażenia wzór i wzór to sumy ciągów arytmetycznych wynoszące odpowiednio wzór i wzór. Stąd:
wzór i wzór
Obliczmy granicę tych ciągów pamiętając, że jeśli wzór, to również wzór:
wzór
oraz
wzór
Dla każdego podziału wzór, z każdego przedziału cząstkowego wzór wybierzmy dowolny punkt wzór. Stąd wynika, że wzór. Utwórzmy ciąg sum Riemann'a zdefiniowany następująco:
wzór
Skoro wzór dla każdego i=1,...,n, dla każdego m, to zachodzi:
wzór
Powyższa nierówność oraz zbieżność ciągów wzór i wzór są założeniami twierdzenia o trzech ciągach. Na mocy tego twierdzenia wynika, że ciąg wzór jest zbieżny i jego granica wynosi wzór. Spełniona jest więc definicja całki oznaczonej, czyli:
wzór
Jest to oczywiście pole trójkąta o wierzchołka w punktach (0,0), (c,0) i (c,c).
wzór
:: początek strony
(B) Interpretacja geometryczna.
Jeżeli w przedziale wzór spełniony jest warunek wzór, to wyrażenie wzór mówi jaka jest wielkość pola ogranioczonego przez oś OX, wykres f(x) oraz proste a i b. Oto wykres przedstawiający powyższą interpretację:
wzór
Analogiczne pole w przypadku, gdy wzór wynosi wzór.
Całkowitę wielkość pola ograniczonego przez oś OX, wykres f(x) oraz proste a i b wyraża wzór
Przyjmujemy, że wzór. Gdy zaś a>b to wyrażenie wzór rozumiemy jako wzór
:: początek strony
(C) Własności.
Całka nieoznaczona ma następujące własności:
1. wzór
2. wzór
3. wzór
4. wzór, gdzie wzór oraz spełnione jest założenie o ciągłości funkcji f w przedziale wzór.
5. Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale wzór, to funkcja wzór jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale wzór i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi g'(x)=f(x).
6. Niech F(x) oznacza funkcję pierwotną zmiennej f(x), niech f(x) będzie ciągła w wzór. Jeżeli spełnione są powyższe założenia, to zachodzi wzór. Różnicę wzór oznaczamy inaczej jako wzór lub wzór.
7. Jeżeli funkcje f i g są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne, to wzór.
8. Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) jest rosnąca w przedziale wzór, f(t) jest jest funkcją ciągłą w przedziale wzór, to zachodzi wzór.

:: początek strony
(D) Przykłady obliczeń.
1. Obliczmy następującą całkę:
Sposób I:
wzór
W tym celu wykorzystamy wzór na całkowanie przez części (wzór nr 7):
wzór
Sposób II:
Wykorzystamy wzór nr 6. Najpierw jednak musimy obliczyć całkę nieoznaczoną:
wzór
Następnie:
wzór

2. Obliczmy następującą całkę:
wzór
Wykorzystajmy wzór nr 8:
wzór
Przykład ten można oczywiście rozwiąząć wykorzystując wzór nr 6. Jest to chyba najlepszy sposób na rozwiązywanie całek oznaczonych - nie trzeba pamiętać o zmianie przedziału całkowania w przypadku całkowania przez podstawianie (wzór nr 8).
:: początek strony