top

Całki nieoznaczone

Teorię dotyczącą całek nieoznaczonych podzieliliśmy na trzy części:

(A) Wstęp - definicje i krótkie wyjaśnienie
(B) Wzory
(C) Całkowanie przez podstawianie i całkowanie przez części

Staraliśmy się umieszczać przykłady, które powinny ułatwić zrozumieć prezenrowany materiał.
(A) Wstęp - definicje i krótkie wyjaśnienie.
Na czym polega całkowanie?
Przypomnijmy najpierw na czym polega obliczanie pochodnej? Mamy daną funkcję wzór, szukamy funkcji wzór, która spełnia: wzór.
Uwaga: stosujemy zamiennie oznaczenia pochodnych funkcji np. dla oznaczenia pochodnej pewnej funkcji wzór stosujemy zarówno zapis wzór jak i wzór.
Całkowanie polega natomiast na szukaniu funkcji wzór, która spełnia wzór, przy czym dana jest wzór. Prościej: naszą daną jest pochodna pewnej funkcji, naszym zadaniem jest znalezienie funkcji, z której ta pochodna została obliczona.

Oto podstawowe definicje związane z całkowaniem:

Funkcją pierwotną funkcji wzór na przedziale wzór nazywamy każdą funkcję wzór, której pochodna wzór równa się danej funkcji wzór dla każdego wzór.


Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji wzór, oznaczaną symbolem wzór nazywamy wyrażenie wzór, gdzie wzór jest funkcją pierwotną funkcji wzór, a wzór jest dowolną stałą.

Najpierw krótki przykład pokazujący bezpośredni związek między obliczaniem pochodnych (różniczkowaniem) a całkowaniem. Wiemy, że pochodna funkcji
wzór
wynosi
wzór.
Stąd wynika, że
wzór.
Musimy dodać stałą wzór, a wynika to z faktu, iż pochodna ze stałej równa się zero.
Po ponownym różniczkowaniu otrzymamy oczywiście
wzór.
:: początek strony

(B) Wzory.
Teraz przedstawimy podstawowe wzory na całkowanie.
1. wzór
2. wzór
3. wzór
4. wzór
5. wzór
6. wzór
7. wzór
8. wzór
9. wzór
10. wzór
11. wzór
12. wzór
13. wzór
14. wzór
15. wzór
16. wzór
17. wzór
18. wzór
19. wzór
20. wzór
21. wzór
22. wzór
23. wzór

Oto jeszcze kilka niezbędnych wzorów (analogiczne własności posiadają pochodne):
Jeżeli funkcje wzór i wzór mają funkcje pierwotne, to:
24. wzór
25. wzór
26. wzór
Ale uwaga!!!
wzór

Kolejny przykład pokaże, jak pamiętając wzór na pochodną danej funkcji można przypomnieć sobie wzór na całkę tejże funkcji. Wyprowadźmy wzór nr 6 mając dane:
wzór i wzór.
Obliczamy wzór
gdyż
wzór (patrz wzór 26).
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że
wzór
gdzie wzór jest dowolną stałą. Otrzymujemy więc, że
wzór
Dzielimy obustronnie przez wzór otrzymując
wzór.
Podstawiamy wzór otrzymujemy wzór 6. wzór jest oczywiście dowolną stałą.
:: początek strony

(C) Całkowanie przez podstawianie i całkowanie przez części.
Całka nieoznaczona ma następującą własność:
Jeżeli:
1. funkcja wzór jest ciągła na przedziale wzór
2. funkcja wzór ma ciągłą pochodną na przedziale wzór to
wzór gdzie wzór jest dowolną funkcją pierwotną funkcji wzór oraz wzór
Jest to tak zwany wzór na całkowanie przez podstawianie. Jego zastosowanie zilustrujemy przykładem. Obliczmy:
wzór
Podstawiamy
wzór (1)
Następnie różniczkujemy powyższe równanie:
wzór
Stąd wynika, że:
wzór (2)
Podstawiamy (1) i (2) do obliczanej całki:
wzór
Pszekształcamy (wykorzystując) wzór 4):
wzór
Wykorzystując (1) powracamy do oryginalnej zmiennej otrzymując ostateczne rozwiązanie:
wzór

Oto lista kroków niezbędnych do obliczenia całek metodą podstawiania:
(i)Znajdź wyrażenie t=t(x) takie, że funkcja podcałkowa f(x)może być wyrażona w prostszej postaci
(ii)Oblicz różniczkę dt=t'(x)dx
(iii)W wyrażeniu podcałkowym postaraj się znaleźć obliczoną różniczkę
(iv)Staraj się zapisać funcję podcałkową jako funkcję zmiennej t. Jeśli nie da się tego zrobić, to być może omawiana metoda nie nadaje się do obliczenia danej całki (możesz jeszcze sprawdzić inne funkcje - wróć do kroku (i)).
(v)Znajdź funkcję pierwotną prostszej całki.
(vi)Dokonaj podstawienia za t tak, żeby uzyskana funkcja pierwotna była funkcją zmiennej x.


Teraz opiszemy metodę tzw. całkowania przez części:
Jeżeli funkcje wzór i wzór mają ciągłe pochodne, to:
wzór

Jego zastosowanie zilistrujemy następującym przykładem. Obliczmy
wzór
Za f(x) podstawmy f(x)=x, natomiast niech g'(x)=cosx. Obliczamy:
f'(x)=1
oraz
wzór
W ostatnim wyrażeniu pominęliśmy stałą. Stosując metodę całkowania przez części otrzymujemy:
wzór
Ostatecznie zaś:
wzór
:: początek strony